- アナログまたはデジタルフィルター
- アクティブまたはパッシブフィルター
- オーディオまたは無線周波数に基づくフィルター
- 周波数選択に基づくフィルター
- 一次ローパスバターワースフィルター
- 2次バターワースローパスフィルター
- 2次ローパスバターワースフィルターの導出-Aliter
電気フィルターには多くの用途があり、多くの信号処理回路で広く使用されています。これは、特定の入力の完全なスペクトルで選択された周波数の信号を選択または除去するために使用されます。したがって、フィルターは、選択した周波数の信号がフィルターを通過できるようにするため、または選択した周波数の信号がフィルターを通過するのを排除するために使用されます。
現在、利用可能なフィルターには多くの種類があり、それらは多くの点で区別されています。また、以前のチュートリアルで多くのフィルターについて説明しましたが、最も一般的な差別化は、
- アナログまたはデジタル
- アクティブまたはパッシブ
- オーディオまたは無線周波数
- 周波数選択
アナログまたはデジタルフィルター
環境によって生成された信号は本質的にアナログであるのに対し、デジタル回路で処理された信号は本質的にデジタルであることがわかっています。目的の結果を得るには、アナログ信号とデジタル信号に対応するフィルターを使用する必要があります。したがって、アナログ信号の処理にはアナログフィルターを使用し、デジタル信号の処理にはデジタルフィルターを使用する必要があります。
アクティブまたはパッシブフィルター
フィルタは、フィルタの設計時に使用されるコンポーネントに基づいて分割されます。フィルタの設計が完全に受動部品（抵抗、コンデンサ、インダクタなど）に基づいている場合、そのフィルタは受動フィルタと呼ばれます。一方、回路の設計時にアクティブコンポーネント（オペアンプ、電圧源、電流源）を使用する場合、このフィルターはアクティブフィルターと呼ばれます。
多くの利点があるため、パッシブフィルターよりもアクティブフィルターの方が好まれますが、より一般的です。これらの利点のいくつかを以下に示します。
- 負荷の問題なし：アクティブ回路では、入力インピーダンスが非常に高く、出力インピーダンスが低いオペアンプを使用していることがわかっています。その場合、アクティブフィルタを回路に接続すると、入力インピーダンスが非常に高く、フィルタを接続しても回路に負担がかからないため、オペアンプが引き込む電流はごくわずかになります。
- ゲイン調整の柔軟性：パッシブフィルターでは、そのようなタスクを実行するための特定のコンポーネントがないため、ゲインまたは信号の増幅は不可能です。一方、アクティブフィルタには、入力信号に高ゲインまたは信号増幅を提供できるオペアンプがあります。
- 周波数調整の柔軟性：アクティブフィルターは、パッシブフィルターと比較して、カットオフ周波数を調整する際の柔軟性が高くなります。
オーディオまたは無線周波数に基づくフィルター
フィルターの設計に使用されるコンポーネントは、フィルターの用途やセットアップの使用場所によって異なります。たとえば、RCフィルタはオーディオまたは低周波数アプリケーションに使用され、LCフィルタはラジオまたは高周波数アプリケーションに使用されます。
周波数選択に基づくフィルター
フィルタは、フィルタを通過した信号に基づいて分割されます
ローパスフィルタ：
選択した周波数を超えるすべての信号が減衰します。アクティブローパスフィルターとパッシブローパスフィルターの2種類があります。ローパスフィルターの周波数応答を以下に示します。ここで、点線のグラフは理想的なローパスフィルターのグラフであり、きれいなグラフは実際の回路の実際の応答です。これは、線形ネットワークが不連続な信号を生成できないために発生しました。図に示すように、信号がカットオフ周波数fHに達した後、減衰が発生し、特定のより高い周波数の後、入力で与えられた信号は完全にブロックされます。
ハイパスフィルタ：
選択した周波数を超えるすべての信号が出力に表示され、その周波数を下回る信号はブロックされます。アクティブハイパスフィルターとパッシブハイパスフィルターの2種類があります。ハイパスフィルターの周波数応答を以下に示します。ここで、点線のグラフは理想的なハイパスフィルターグラフであり、クリーンなグラフは実際の回路の実際の応答です。これは、線形ネットワークが不連続な信号を生成できないために発生しました。図に示すように、信号の周波数がカットオフ周波数fLよりも高くなるまで、信号は減衰します。
バンドパスフィルター：
このフィルターでは、選択した周波数範囲の信号のみが出力に表示され、他の周波数の信号はブロックされます。バンドパスフィルターの周波数応答を以下に示します。ここで、点線のグラフは理想的なバンドパスフィルターのグラフであり、きれいなグラフは実際の回路の実際の応答です。図に示すように、fLからfHまでの周波数範囲の信号はフィルターを通過できますが、他の周波数の信号は減衰します。バンドパスフィルターの詳細については、こちらをご覧ください。
バンドリジェクトフィルター：
バンドリジェクトフィルター機能は、バンドパスフィルターの正反対です。入力で提供された選択された帯域範囲の周波数値を持つすべての周波数信号はフィルターによってブロックされますが、他の周波数の信号は出力に表示されます。
オールパスフィルター：
位相シフトが発生する場合を除いて、任意の周波数の信号がこのフィルターを通過できます。
アプリケーションとコストに基づいて、設計者はさまざまなタイプから適切なフィルターを選択できます。
しかし、ここでは、出力グラフで、望ましい結果と実際の結果が完全に同じではないことがわかります。このエラーは多くのアプリケーションで許容されますが、出力グラフが理想的なフィルターに向かう傾向がある、より正確なフィルターが必要になる場合があります。このほぼ理想的な応答は、特別な設計技術、高精度コンポーネント、および高速オペアンプを使用することで実現できます。
バターワース、カウル、チェビシェフは、ほぼ理想的な応答曲線を提供できる最も一般的に使用されるフィルターの一部です。それらの中で、3つの中で最も人気のあるバターワースフィルターについてここで説明します。
バターワースフィルターの主な機能は次のとおりです。
- RC（抵抗、コンデンサ）&オペアンプ（オペアンプ）ベースのフィルタです
- アクティブフィルターなので、必要に応じてゲインを調整できます
- バターワースの主な特徴は、フラットな通過帯域とフラットな阻止帯域を備えていることです。これが、通常「フラットフラットフィルター」と呼ばれる理由です。
次に、理解を深めるために、ローパスバターワースフィルターの回路モデルについて説明します。
一次ローパスバターワースフィルター
この図は、1次ローパスバターワースフィルターの回路モデルを示しています。
回路には次のものがあります。
- 本質的にアナログである入力電圧信号としての電圧「Vin」。
- 電圧「Vo」はオペアンプの出力電圧です。
- 抵抗「RF」と「R1」は、オペアンプの負帰還抵抗です。
- 回路には単一のRCネットワーク（赤い四角でマーク）が存在するため、フィルターは1次ローパスフィルターです。
- 「RL」は、オペアンプ出力に接続されている負荷抵抗です。
ポイント「V1」で分圧器の規則を使用すると、コンデンサの両端の電圧を次のように取得できます。
V 1 = V in Here –jXc = 1 /2ᴫfc
この方程式を代入すると、次のようになります。
V 1 = Vi n /（1 +j2ᴫfRC）
ここで、負帰還構成で使用されるオペアンプ。このような場合、出力電圧の式は次のようになります。
V 0 =（1 + R F / R 1）V1 。
これは標準的な式であり、詳細についてはオペアンプ回路を調べることができます。
V1方程式をVoに送信すると、次のようになります。
V0 =（1 + R F / R 1）
この方程式を書き直した後、私たちは持つことができます、
V 0 / V in = A F /（1 + j（f / f L））
この方程式では、
- V 0 / V in =周波数の関数としてのフィルターのゲイン
- AF =（1 + R F / R 1）=フィルターの通過帯域ゲイン
- f =入力信号の周波数
- f L = 1 /2ᴫRC=フィルターのカットオフ周波数。この式を使用して適切な抵抗とコンデンサの値を選択し、回路のカットオフ周波数を選択できます。
上記の方程式を極形式に変換すると、次のようになります。
この式を使用して、入力信号の周波数の変化に伴うゲインの大きさの変化を観察できます。
ケース1：f <
したがって、入力周波数がフィルターのカットオフ周波数よりも非常に低い場合、ゲインの大きさはオペアンプのループゲインにほぼ等しくなります。
ケース2：F = F L。入力周波数がフィルターのカットオフ周波数と等しい場合、、
したがって、入力周波数がフィルターのカットオフ周波数に等しい場合、ゲインの大きさはオペアンプのループゲインの0.707倍になります。
ケース3：F> F L。入力周波数がフィルターのカットオフ周波数よりも高い場合、
パターンからわかるように、入力信号周波数がカットオフ周波数より低くなるまで、フィルターのゲインはオペアンプのゲインと同じになります。ただし、入力信号周波数がカットオフ周波数に達すると、ケース2に見られるように、ゲインはわずかに減少します。また、入力信号の周波数がさらに高くなると、ゲインはゼロに達するまで徐々に減少します。したがって、ローパスバターワースフィルターを使用すると、入力信号の周波数がカットオフ周波数より低くなるまで、入力信号が出力に現れることができます。
上記の回路の周波数応答グラフを描いた場合、次のようになります。
グラフに示されているように、入力信号の周波数がカットオフ周波数値を超えるまでゲインは線形になり、それが発生するとゲインが大幅に減少し、出力電圧値も減少します。
2次バターワースローパスフィルター
この図は、2次バターワースローパスフィルターの回路モデルを示しています。
回路には次のものがあります。
- 本質的にアナログである入力電圧信号としての電圧「Vin」。
- 電圧「Vo」はオペアンプの出力電圧です。
- 抵抗「RF」と「R1」は、オペアンプの負帰還抵抗です。
- 回路には二重RCネットワーク（赤い四角でマーク）が存在するため、フィルターは2次ローパスフィルターです。
- 「RL」は、オペアンプ出力に接続されている負荷抵抗です。
2次ローパスバターワースフィルターの導出
2次フィルターは、2次フィルターを使用して設計されているため、重要です。カットオフ周波数ながら2次フィルタのゲインは、R1及びRFによって設定されたF Hが Rによって決定される2、R 3、C 2及びC 3つの値。カットオフ周波数の導出は次のように与えられます。
F H = 1 /2ᴫ（R 2 R 3 C 2 C 3）1/2
この回路の電圧利得の式も以前と同様の方法で見つけることができ、この式を以下に示します。
この方程式では、
- V 0 / V in =周波数の関数としてのフィルターのゲイン
- A F =（1 + R F / R 1）フィルターの通過帯域ゲイン
- f =入力信号の周波数
- F H = 1 /2ᴫ（R 2 R 3 C 2 C 3）1/2 =フィルタのカットオフ周波数。この式を使用して適切な抵抗とコンデンサの値を選択し、回路のカットオフ周波数を選択できます。また、RCネットワークで同じ抵抗とコンデンサを選択すると、式は次のようになります。
電圧ゲイン方程式を使用して、入力信号の周波数の対応する変化に伴うゲインの大きさの変化を観察できます。
ケース1：f <
したがって、入力周波数がフィルターのカットオフ周波数よりも非常に低い場合、ゲインの大きさはオペアンプのループゲインにほぼ等しくなります。
ケース2：F F = H。入力周波数がフィルターのカットオフ周波数と等しい場合、、
したがって、入力周波数がフィルターのカットオフ周波数に等しい場合、ゲインの大きさはオペアンプのループゲインの0.707倍になります。
ケース3：F> F H。入力周波数がフィルターのカットオフ周波数よりも実際に高い場合は、
1次フィルタと同様に、フィルタのゲインは、入力信号周波数がカットオフ周波数より低くなるまで、オペアンプのゲインと同じになります。ただし、入力信号周波数がカットオフ周波数に達すると、ケース2に見られるように、ゲインはわずかに減少します。また、入力信号の周波数がさらに高くなると、ゲインはゼロに達するまで徐々に減少します。したがって、ローパスバターワースフィルターを使用すると、入力信号の周波数がカットオフ周波数より低くなるまで、入力信号が出力に現れることができます。
上記の回路の周波数応答グラフを描くと、次のようになります。
ここで、1次フィルターと2次フィルターの違いはどこにあるのか疑問に思われるかもしれません。答えはグラフにあります。注意深く観察すると、入力信号周波数がカットオフ周波数を超えた後、グラフが急激に低下し、この低下は1次よりも2次で顕著になります。この急な傾斜により、2次のバターワースフィルターは、1次のバターワースフィルターと比較して、理想的なフィルターグラフに向かってより傾斜します。
これは、3次バターワースローパスフィルター、4次バターワースローパスフィルターなどでも同じです。フィルタの次数が高いほど、ゲイングラフは理想的なフィルタグラフに傾いています。高次のバターワースフィルターのゲイングラフを描くと、次のようになります。
グラフでは、緑色の曲線が理想的なフィルター曲線を表しており、バターワースフィルターの次数が増えるにつれて、ゲイングラフが理想的な曲線に向かって傾いていることがわかります。したがって、選択したバターワースフィルターの次数が高いほど、ゲイン曲線はより理想的になります。そうは言っても、次数が増えるとフィルターの精度が低下するため、高次のフィルターを簡単に選択することはできません。したがって、必要な精度を監視しながら、フィルターの次数を選択するのが最善です。
2次ローパスバターワースフィルターの導出-Aliter
記事が公開された後、私たちは引退した電気技師であるキース・フォーゲルからメールを受け取りました。彼は、2次 ローパスフィルターの説明に広く公表されている誤りに気づき、それを修正するための説明を次のように提供しました。
だから私もそれを正しくしましょう。：
そして、-6dbのカットオフ周波数は次の式で表されます。
f c = 1 /（
しかし、これは単に真実ではありません！あなたに私を信じさせましょう。R1 = R2 = 160、C1 = C2 = 100nF（0.1uF）の回路を作ってみましょう。方程式が与えられると、-6dbの周波数は次のようになります。
f c = 1 /（
先に進んで回路をシミュレートし、-6dbポイントがどこにあるかを見てみましょう。
ああ、それは9.947kHzではなく6.33kHzまでシミュレートします。しかし、シミュレーションは間違っていません！
参考までに、20log（0.5）= -6.0205999132796239042747778944899であるため、-6dbではなく-6.0206dbを使用しました。-6.0206は-6よりも少し近い数値であり、方程式により正確なシミュレーション周波数を取得するために、 -6dbより少し近いもの。私は本当に式で概説された周波数を達成したい場合は、私は1の間でバッファする必要があります目 と2回目 のフィルタの段階。私たちの方程式のより正確な回路は次のようになります。
そして、ここでは、-6.0206dbポイントが9.945kHzにシミュレートされており、計算された9.947kHZにはるかに近いことがわかります。うまくいけば、あなたは私にエラーがあると信じています！それでは、エラーがどのように発生したのか、そしてなぜこれが単に悪いエンジニアリングであるのかについて話しましょう。
ほとんどの説明は 、インピーダンスが次のように、1次ローパスフィルターから始まります。
そして、次の簡単な伝達関数が得られます。
H（s）=（1 / sC）/（R + 1 / sC）= 1 /（sRC + 1）
次に、これらの2つを組み合わせて2次 フィルターを作成すると、次のようになります。
H（s）= H 1（s）* H 2（s）。
ここで、H 1（s）= H 2（s）= 1 /（sRC + 1）
これを計算すると、fc = 1 /（2π√R1C1R2C2）の式になります。ここでは、エラー、Hの応答である1（s）がHの独立していない2（S）回路では、あなたが言うことができないH 1（S）= H 2（S）= 1 /（SRC + 1） 。
H 2（s）のインピーダンスは、H 1（s）の応答に影響を与えます。したがって、オペアンプがH 2（s）をH 1（s）から分離するため、この回路が機能する理由は次のとおりです。
それでは、次の回路を分析します。元の回路を考えてみましょう。
簡単にするために、R1 = R2およびC1 = C2にします。そうしないと、計算が非常に複雑になります。ただし、実際の伝達関数を導出し、それをシミュレーションと比較して、完了したら検証できるはずです。
（R + 1 / sC）と並列 にZ 1 = 1 / sCと言うと、回路を次のように再描画できます。
V 1 / V in = Z 1 /（R + Z 1）; ここで、Z 1は、 複素インピーダンスとすることができます。そして、元の回路に戻ると、Z 1 = 1 / sCが（R + 1 / sC）と並列になっていることがわかります。
また、Vo / V 1 = 1 /（sRC + 1）、つまりH 2（s）であることがわかります。しかし、H 1（s）ははるかに複雑で、Z 1 /（R + Z 1）です。ここでZ 1 = 1 / sC-（R + 1 / sC）; 1 /（sRC + 1）ではありません！
それでは、回路の計算を見ていきましょう。R1 = R2およびC1 = C2の特殊なケースの場合。
我々は持っています：
V 1 / V in = Z 1 /（R + Z 1）Z 1 = 1 / sC-（R + 1 / sC）=（sRC + 1）/（（sC）2 R + 2sC）Vo / V 1 = 1 /（sRC + 1）
そして最後に
Vo / V in = * = * = * = * = *
ここでそれを見ることができます：
H 1（s）=（sRC + 1）/（（sCR）2 + 3sRC + 1）…
1 /（sRC + 1）H 2（s）= 1 /（sRC + 1）ではない
そして..
Vo / V in = H 1（s）* H 2（s）= * = 1 /（（sRC）2 + 3sRC + 1）
-6dbポイントは（
そして、伝達関数の大きさが0.5のとき、-6dbの周波数にあることがわかります。
それでそれを解決しましょう：
-Vo / Vで= -1 /（（SRC） - 2 + 3sRC + 1） - = 0.5
s =jꙍとすると、次のようになります。
-1 /（（sRC）2 + 3sRC + 1）-= 0.5 -1 /（（jꙍRC）2 +3jꙍRC+ 1）-= 0.5-（（jꙍRC）2 +3jꙍRC+ 1）-= 2-（-（ ꙍRC）2 +3jꙍRC+ 1）-= 2-（（1-（ꙍRC）2）+3jꙍRC-= 2
大きさを見つけるには、実数と虚数の二乗の平方根を取ります。
sqrt（（（1-（ꙍRC）2）2 +（3ꙍRC）2）= 2
両側を二乗する：
（（1-（ꙍRC）2）2 +（3ꙍRC）2 = 4
拡大する：
1-2（ꙍRC）2 +（ꙍRC）4 + 9（ꙍRC）2 = 4
1 + 7（ꙍRC）2 +（ꙍRC）4 = 4
（ꙍRC）4 + 7（ꙍRC）2 + 1 = 4
（ꙍRC）4 + 7（ꙍRC）2 - = 0 3
x =（ꙍRC）2とします
（x）2 + 7x-3 = 0
二次方程式を使用してxを解く
x =（-7 +/- sqrt（49 – 4 * 1 *（-3））/ 2 =（-7 +/- sqrt（49 +12）/ 2 =（-7 +/-
..本当の答えは+だけです
覚えておいてください
x =（ꙍRC）2
xを置き換える
（ꙍRC）2 =（
ꙍを2に置き換える
2
f c =（
醜い、あなたは私を信じていないかもしれないので、読んでください…私があなたに与えた元の回路について：
f c =（
この回路の元のシミュレーションに戻ると、約6.331kHzで-6dbの周波数が見られました。これは、計算と正確に一致しています。
他の値についてこれをシミュレートすると、方程式が正しいことがわかります。
2つの1次 ローパスフィルター間をバッファリングすると、次の式を使用できることがわかります。
f c = 1 /（
また、R1 = R2およびC1 = C2の場合、次の式を使用できます。
f c = 1 /
ただし、2つの1次 フィルター間でバッファーを使用しない場合、式（R1 = R2、C1 = C2の場合）は次のようになります。
f c =（
F C〜0.6365 / 2
警告、次のように言おうとしないでください。
f c = 0.6365 /（
H 2（s）はH 1（s）に影響することを忘れないでください。ただし、その逆ではありません。フィルターは対称ではないため、この仮定を行わないでください。
したがって、現在の方程式を維持する場合は、次のような回路をお勧めします。
