マクスウェル方程式は電磁気理論の基礎であり、電場と磁場に関連する4つの方程式のセットを構成します。マクスウェル方程式の数学的表現をリストする代わりに、この記事ではそれらの方程式の実際の重要性に焦点を当てます。マクスウェルの第1方程式と第2方程式は、それぞれ静電界と静磁場を扱います。マクスウェルの3番目と4番目の方程式は、それぞれ磁場の変化と電場の変化を扱います。
マクスウェルの方程式は次のとおりです。
- 電気のガウスの法則
- 磁性のガウスの法則
- ファラデーの誘導の法則
- アンペールの法則
1.電気のガウスの法則
この法則は、閉じた表面からの電束は、その表面に囲まれた総電荷に比例すると述べています。ガウスの法則は静電界を扱います。
正の点電荷Qを考えてみましょう。電束線は正の電荷から外側に向いていることがわかります。
電荷Qが囲まれた閉じた表面を考えてみましょう。エリアベクトルは、サーフェスの方向を表すため、常に法線として選択されます。電界ベクトルと面積ベクトルのなす角度をθとします。
電束ψは
内積を選択する理由は、法線面積ベクトルで表される表面を通過する電束の量を計算する必要があるためです。
クーロンの法則から、我々は点電荷による電界（E）はQ /4πεであることを知っている0 R 2。
球対称性を考慮すると、ガウスの法則の積分形式は次のとおりです。
従って電束 Ψ= Qで囲ま/ε 0
ここで囲まれたQは、表面内のすべての電荷のベクトル和を表します。電荷を囲む領域はどのような形状でもかまいませんが、ガウスの法則を適用するには、対称で電荷分布が均一なガウス表面を選択する必要があります。ガウス面は、円筒形、球形、または平面にすることができます。
その微分形式を導出するには、発散定理を適用する必要があります。
上記の方程式は、ガウスの法則またはマクスウェルの方程式Iの微分形式です。
上記の式で、ρは体積電荷密度を表します。線電荷または表面電荷分布を持つ表面にガウスの法則を適用する必要がある場合、電荷密度で方程式を表す方が便利です。
したがって、閉じた表面上の電界の発散は、それによって囲まれた電荷の量（ρ）を与えると推測できます。ベクトル場に発散を適用することにより、ベクトル場で囲まれた表面がソースまたはシンクとして機能しているかどうかを知ることができます。
上に示したように、正電荷を持つ直方体を考えてみましょう。ボックス（直方体）から出てくる電界に発散を適用すると、数式の結果から、考慮されるボックス（直方体）が計算された電界のソースとして機能することがわかります。結果が負の場合、ボックスがシンクとして機能していること、つまりボックスが負の電荷を含んでいることを示しています。発散がゼロの場合、それは電荷がないことを意味します。
このことから、電気単極子が存在すると推測できます。
2.磁性のガウスの法則
磁束線が北極から南極に外部から流れることがわかっています。
永久磁石による磁束線があるので、それに関連する磁束密度（B）があります。表面S1、S2、S3、またはS4に発散定理を適用すると、選択した表面に出入りする磁束線の数が同じままであることがわかります。したがって、発散定理の結果はゼロです。表面S2とS4でも、発散はゼロです。つまり、N極もS極も、電荷のように個別にソースまたはシンクとして機能することはありません。電流が流れるワイヤーによる磁場（B）の発散を加えても、ゼロであることがわかります。
磁性のガウスの法則の積分形式は次のとおりです。
磁性のガウスの法則の微分形式は次のとおりです。
このことから、磁気単極子は存在しないと推測できます。
3.ファラデーの誘導の法則
ファラデーの法則によれば、コイルまたは任意の導体をつなぐ磁束に変化（時間の経過とともに変化）があると、コイルにEMFが誘導されます。レンツは、誘導されるEMFは、それを生成する磁束の変化に対抗する方向にあると述べました。
上の図では、導電板または導体が変化する磁場の影響下に置かれると、循環電流がその中に誘導されます。電流は、それによって生成された磁場が、それを生成した変化する磁気に対抗するような方向に誘導されます。この図から、磁場を変化または変化させると循環電場が生成されることが明らかです。
ファラデーの法則から、
emf = --dϕ / dt
私達はことを知っています、
ϕ =閉じた表面ʃB 。dS emf =-（d / dt）ʃB 。dS
電界E = V / d
V = ʃ E.dl
電界は表面（カール）に対して変化しているため、電位差Vが存在します。
したがって、マクスウェルの4番目の方程式の積分形式は次のようになります。
ストークスの定理を適用することにより、
ストークスの定理を適用する理由は、閉じた表面上で回転場のカールを取ると、ベクトルの内部カール成分が互いに打ち消し合い、その結果、閉じたパスに沿ってベクトル場が評価されるためです。
したがって、私たちはそれを書くことができます、
マクスウェルの方程式の微分形式は次のとおりです。
上記の式から、時間とともに変化する磁場が循環電場を生成することが明らかです。
注： 静電気では、電界のカールはゼロです。これは、電界が電荷から半径方向外側に出ており、それに関連する回転成分がないためです。
4.アンペールの法則
アンペールの法則によれば、電流がワイヤーを流れると、ワイヤーの周りに磁場が発生します。数学的には、閉ループの周りの磁場の線積分は、それによって囲まれた全電流を与えます。
ʃ B .dl =μ 0 I同封
磁場はワイヤーの周りをカールするので、ストークスの定理をアンペールの法則に適用できます。
したがって、方程式は次のようになります。
囲まれた電流を電流密度Jで表すことができます。
B = μ 0 Hこの関係を用いることにより、我々は、として式を書くことができます
回転するベクトル場の回転に発散を適用すると、結果はゼロになります。これは、閉じた表面がソースまたはシンクとして機能しないためです。つまり、表面に出入りするフラックスの数は同じです。これは数学的に次のように表すことができます。
以下に示すような回路を考えてみましょう。
回路にはコンデンサが接続されています。領域S1に発散を適用すると、結果はそれがゼロ以外であることを示しています。数学表記では、
回路には電流が流れますが、コンデンサでは、プレート間の電界の変化により電荷が移動します。したがって、物理的には電流は流れません。マクスウェルは、この変化する電束を変位電流（J D）と名付けました。しかし、マクスウェルは、ファラデーの法則の対称性を考慮して、変位電流（J D）という用語を作り出しました。つまり、時間とともに変化する磁場が電場を生成する場合、対称性によって、電場を変化させると磁場が生成されます。
領域S1の磁場強度（H）の回転は
マクスウェルの4番目の方程式の積分形式は、次のように表すことができます。
マクスウェルの4番目の方程式の微分形式は次のとおりです。
積分形式または微分形式のこれら4つの方程式はすべて、マクスウェルの方程式と呼ばれます。